En este ejemplo veremos como resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss, supondremos que es un Sistema Compatible Determinado. Denotaremos los coeficientes de las incógnitas con la matriz A, las incógnitas con el vectoVector_x.png, y el vector solución vector_b.png.


Gauss_1.png

Gauss_2.png
Para ser un Sistema Compatible Determinado:
- m=n
- Rango A= Rango de b=n
Como probablemente sepáis, el método de Gaus consiste en hacer ceros por debajo de la diagonal principal y una vez hecho, resolver por remonte el sistema. Quedaría así nuestro sistema:

Gauss_3.png
Empezamos a resolver por remonte. Para facilitar el proceso, llamaremos tanto a filas como a columnas “n”.
Gauss_4.png
Gauss_5.png
Finalmente llegamos a la siguiente conclusión.
Gauss_6.png
Gauss_7.png son todos los coeficientes que se encuentran a la derecha de los Gauss_8.png, es decir los que van desde Gauss_9.png hasta Gauss_10.png.
Ahora llamaremos Gauss_13.png a los coeficientes que van desde Gauss_14.png hasta Gauss_15.png.
Al ir realizando Gauss, los coeficientes de la derecha de la diagonal principal cambiarán al multiplicar filas para anularlas con otras (excepto la primera fila). Para ello se realizará el siguiente bucle:
Gauss_16.png
Una vez obtenidos todos estos datos vamos a la creación de nuestro algoritmo.

Algoritmo_Gauss.png



Pero este algoritmo tiene un fallo, si al hacer combinaciones lineales nos aparece un cero en la diagonal principal. La solución es permutar esa fila por otra que no tenga ceros en esa columna.
Supongamos que Gauss_11.png nos da un valor nulo y queremos cambiar esa fila por otra en la que Gauss_12.png es no nulo.
Con lo cual, ahora se crearía un nuevo bucle que tendría la siguiente estructura.
Gauss_17.png
*Aux es una variable auxiliar que tomamos para intercambiar el valor de Gauss_18.png por el de Gauss_19.png y viceversa.

Finalmente introduciendo este último paso (amarillo de fondo) en nuestro algoritmo, quedaría de esta manera:
Algoritmo_final_sistema_de_Gauss.png




EJEMPLO DE ALGORITMO PARA ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
En el siguiente ejemplo se procede a diseñar un algoritmo que permita calcular las raíces de una ecuación de segundo grado del tipo

ax2+bx+c=0

El primer paso en la resolución de un algoritmo consiste en el análisis del problema:
Las ecuaciones de segundo grado se resuelven mediante la siguente operación,

ec.2º_grado_1.png


Por lo que para introducirlo en el algoritmo se siguen los siguientes pasos.



  1. Si b2-4ac ≥0, entonces se dan las respectivas soluciones serán
a) ec.2º_grado_2.png 1ª solución

b) ec.2º_grado_3.png 2ª solución

  1. Pero si por el contrario b2-4ac< 0, entonces se darán estas otras soluciones, sin raíces complejas

a) ec.2º_grado_4.png 1ª solución

b) ec.2º_grado_5.png 2ª solución

  1. Las variables de entrada del algoritmo son: a, b, c (reales)
4. Las variables de salida del algoritmo son: X1 y X2


En el siguiente paso se realizará el diseño del algoritmo primero en pseudocódigo y seguido el diagrama de flujo .

PSEUDOCÓDIGO

  1. Leer las variables a ,b ,c
2. Calcular d =b2− 4ac

3.Si d ≥0 entonces utilizar las fórmulas:

a) ec.2º_grado_6.png

b) ec.2º_grado_7.png

En caso contrario utilizar las fórmulas:

a) ec.2º_grado_8.png


b) ec.2º_grado_9.png

Terminar la condición

4. Escribir las variables X1 y X2

DIAGRAMA DE FLUJO



Ecuaciones_de_2º_grado.png

EJEMPLO DE ALGORITMO PARA EL PRODUCTORIO

En el siguiente ejemplo se procede a diseñar un algoritmo que permita calcular el productorio de n valores, siendo denominados como ai yendo la “i” desde 1 a n, es decir, los valores de lo n números.

Siendo ai =a1, a2, a3 .....ak.....an valores determinados
productorio_1.png
EJEMPLO DEL PRODUCTORIO

productorio_2.png


Si se busca el productorio de los logaritmos neperianos de los n números siendo n=10 por ejemplo.

Entonces el resultado seríai igual a:

productorio_3.png

La diferencia con el sumatorio, es que en vez de sumar los n valores, los multiplica.


DIAGRAMA DE FLUJO
El_productorio.png